「AI 不可能对最尖端的数学家有任何影响」……吗？
说出这句话的丘成桐，现在已经用上 AI 辅助研究了。
丘成桐参与的最新论文，在致谢里感谢了 GPT 6 Astra 和 Claude Pro，说它们帮忙探索了部分证明思路和计算。
问题关注的是七维空间，当中的球面有 28 种不同的「版本」，其中 27 种和我们熟悉的球面微妙地不同，数学上叫「怪球」。
数学家一直想知道，这些怪球能不能像普通球面一样，每个地方都均匀地向内弯。
怪球 1956 年就被发现了，但这个弯曲的问题悬了 70 年。丘成桐 1982 年把它列进自己的问题清单，排第二位。
现在，这篇 AI 辅助的论文终于给出了答案。
1956 年，美国数学家米尔诺（John Milnor）构造出了一种奇怪的东西。
它和标准的七维球面在拓扑上完全一样，你可以把它想象成一团橡皮泥，随便揉捏、拉伸，都能变成普通的球面。
但是如果你禁止揉捏，只允许光滑地变形，也就是每一个点的移动方式都平缓过渡、不许有突变，它就变不回去了。
这种球面和标准球面「形状一样，手感不同」，数学上叫做「怪球」（exotic sphere）。
七年之后，科维尔（Kervaire）和米尔诺证明，七维空间里这种「光滑版本」一共有 28 种。
标准球面算其中一种，其余 27 种都是怪球，这 28 种构成一个代数结构，数学上记作 Θ Z/28Z。
标准球面有一个很好的性质，它的「截面曲率」（sectional curvature）处处为正。
通俗地说，就是这个球面的每一小块、从每一个角度去看，都是向内弯曲的，没有任何一个地方是平的或者向外翻的。
数学家自然想知道，另外那 27 个怪球，能不能也做到这一点。
最先取得突破的是格罗莫尔（Gromoll）和迈耶（Meyer）。1974 年，他们在一个怪球上构造出了「非负曲率」的度量。
也就是说，这个怪球的每一小块要么向内弯，要么刚好是平的，但不会向外翻。
这一步看似微小，实际上卡了数学界半个多世纪。
2008 年，彼得森（Petersen）和威尔海姆（Wilhelm）曾经发布预印本声称在一个怪球上做到了正曲率，但他们的证明始终没有通过同行评审。
如果这个结果最终被数学界接受，那么这个悬了许久的问题，将被彻底解决。
两块圆盘，一道接缝
为什么从「非负」跨到「正」这么难？其中一个原因很微妙。
布伦德尔（Brendle）和舍恩（Schoen）的微分球定理证明过，如果一个流形上的正曲率太均匀，也就是在任意一点、任意方向上，最大曲率和最小曲率之比都不超过 4，那这个流形一定和标准球面「光滑等价」。
换句话说，怪球上的正曲率必须正，但不能正得太均匀，否则它就不再是怪球了，因此留给构造的空间极为狭窄。
具体地说，作者采用了杜兰（Dur á n）、普特曼（P ü ttmann）和里加斯（Rigas）提出的「双圆盘模型」。
在这个模型里，每一种七维球面都可以看成两个七维圆盘沿着各自的边界粘合而成，28 种球面对应 28 种不同的粘合方式。
于是，问题就变成了：能不能在每块圆盘上分别造出一个处处向内弯的度量，而且两块圆盘在接缝处严丝合缝。
作者并不是直接在七维圆盘上造度量，他们先以三维球面 S 为纤维的「主丛」（principal bundle），把问题搬到了一个十维空间里。
具体来说，在七维圆盘的每一个点上，都站着一个三维的小球，所有这些小球加在一起，就构成了一个十维的空间。
在这个十维空间上造度量，技术上更容易控制。
然后，他们通过一种叫做「黎曼淹没」（Riemannian submersion）的操作，把十维空间的度量「投影」到七维圆盘上。
这里有一个关键的数学工具叫做「奥尼尔公式」（O ’ Neill formula）。
所以作者只需要在十维空间里把曲率做到正的，投影下来的七维度量就自动满足条件。
而在十维空间里做到正曲率的核心技巧，是把那些三维小球的「半径」取到极小。
纤维越细，它自身的弯曲程度就越大，这份巨大的曲率足以压住其他方向上可能出现的负曲率贡献。
但是，两块圆盘的构造方法并不对称。
「南盘」用的是一个弯曲的底盘加上精心选取的联络（connection），「北盘」用的则是扁平的乘积联络配合翘曲的径向轮廓。
两种方法各有各的技术难点，但它们在边界处必须完美对接，具体需要满足两个条件。
一是边界上诱导出的度量要完全一致，二是两侧的「第二基本形式」（second fundamental form），也就是边界处的弯曲程度，加起来之后在每个方向上都严格为正。
为了证明这两个条件，论文先在两块圆盘的公共边界上建立同一套坐标，然后证明在这套坐标下，两侧的纤维半径关于法向的导数刚好相反。
所以，纤维部分对第二基本形式的贡献在拼接时正好抵消，而角向部分的贡献加起来是严格为正的。
满足这两个条件之后，赖泽（Reiser）和雷斯（Wraith）的拼接定理就能保证，粘合后的整个球面上存在一个光滑的正曲率度量。
于是，论文得到了其核心结论，28 种七维球面，每一种都能配上截面曲率严格为正的度量。
论文还附带了一套用 SageMath 编写的验证代码。
整个构造涉及大量曲率不等式的精确估计和参数选取，仅靠人工逐一核查几乎不可能完成，计算机验证在这里是证明可信度的重要支撑。
丘成桐与 AI 这三年
丘成桐对 AI 的态度，这几年经历了一条清晰的变化轨迹。
2023 年 4 月，在复旦大学出席浦江科学大师讲坛前夕，他曾表示，「AI 不可能对最尖端的数学家有任何影响，它还只能把现有的资料融会贯通，很难形成科学观念上的突破」。
2024 年 4 月，他在中关村论坛上的说法稍微软化了一些，他对 AI 的看法从「不会有任何影响」，变成了「对数学有很多好处，可以帮助数学的发展」，不过他坚持认为 AI 不可能改变数学。
到了今年，他的口风已经明显不同。
1 月份在世界华人数学家大会上，他说 AI 改变的是科研效率，但还谈不上范式革命；
6 月份，他又说 AI 能解很多「nice, cute questions」，但离改变整个数学的突破还很远；
7 月份在国际弦理论大会上，他已经主张学生应该尽早学习使用 AI 工具，认为查资料、找文献、归纳总结这些事情，AI 都能帮上忙。
然后就是这篇论文，他和两位合作者在致谢里感谢了 ChatGPT 6 Astra 和 Claude Pro「在部分证明策略的探索和计算中提供的帮助」。
论文紧接着补了一句，人工验证和论文写作的责任由作者自己承担，尽管依然克制，但和三年多之前的那句「不会有任何影响」相比，丘已经不再把 AI 挡在自己的研究之外了。
总之，AI 在数学界的存在感已经强到让顶尖数学家集体表态。
陶哲轩是这一波 AI 浪潮里最早拥抱 AI 的顶尖数学家，他把 AI 当作「研究助理」，用它辅助代码生成、文献检索和形式化证明验证。
但他和今年的菲尔兹奖得主邓煜等 25 位菲尔兹奖得主联合发表了一份声明，警告 AI 公司把解决数学问题当作 benchmark 来冲刺的做法，与数学共同体的目标已经出现「严重偏移」。
在他们看来，数学研究的核心追求是概念理解与洞见，解题只是实现这个目标的工具。
丘成桐也表达过相似的观点。
就在论文发出四天之前，他表示，AI 能够汇集既有知识、推动常规工作，但人往往因为已经得到想要的答案，反而不敢去问更重要的问题。
他认为，AI 无法替代人类独有的原创思考和瞬时迸发的灵感。
丘成桐和陶哲轩对 AI 的关切，其实是相通的，他们都在追问同一件事，就是当 AI 越来越能解题，数学家还愿不愿意继续去问那些 AI 解不了的问题。
论文地址：
https://arxiv.org/abs/2609.29426
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