闻乐 发自 凹非寺 量子位 | 公众号 QbitAI
AI 数学圈最近是真热闹。
OpenAI 前脚一口气甩出 722 份数学证明遭到数学圈集体抵制，后脚谷歌 DeepMind 的数学研究就登上了《Science》。
一个是批量抛出待核验手稿，把校对重担甩给数学家；
另一个老老实实等了几个月，正儿八经走完了同行评审，接受了数学界的检验。
好嘛，OpenAI 那边还在为数学证明的发布方式吵得不可开交，DeepMind 这边已经收获了数学家的公开肯定。
它解决了 9 道埃尔德什开放问题，其中两道题足足悬了 56 年。
除了这 9 道，它还顺手证明了 OEIS 整数序列百科里的 44 个猜想、搞定了一道搁置 15 年的代数几何难题、还改进了凸优化领域里一个沿用已久的理论边界。
说起来，DeepMind 也是《Science》的老熟人了。
这篇数学论文共有 20 位作者，其中的 Aja Huang，也是当年 AlphaGo 的核心研究员。
攻破 56 年悬赏难题
DeepMind 从已有 Lean 形式化版本的问题中选出了 353 道，交给 AlphaProof Nexus 尝试，最终成功解决了 9 道。
其中的 Erd s #12 在 1970 年提出，到现在已经悬而未决 56 年。
这题问的是：
能不能找出一个无限大的整数集合，让集合里的数字满足严格的整除限制，同时还得保持足够大的规模？
具体来说，任意选取其中三个满足条件的整数，较小的那个不能整除另外两个更大整数的和，而且，这个集合还不能太稀疏。
从 1970 年起，就没人能给出这个集合的完整构造，各种局部进展有，但始终拼不成一个整体解。
这次 AlphaProof Nexus 的解法是分块构造。
先把要构造的无限集合拆成一个个整数区块；
然后利用中国剩余定理，结合避免三项等差数列的集合性质，让各个区块满足局部整除条件；
最后再把所有区块拼回一个完整的无限集。
想象两个数字集合：
第一个集合里全是 " 在三进制下只由数字 0 和 1 组成的整数 "；
第二个集合里全是 " 在四进制下只由数字 0 和 1 组成的整数 "；
把这两个集合里所有数字两两相加，得到一个新集合。
问：这个新集合里的数字在自然数中出现的频率（数学上叫下密度）是不是正的？
直觉上你可能会觉得，两种集合包含的数字本来就不算很多，加起来应该也挺稀疏的。
但稀疏到什么程度？是彻底稀到密度归零，还是多少保持一点正密度？
这中间的差别非常微妙，1996 年提出后一直没定论。
AlphaProof Nexus 给出的答案是：下密度为零。
这意味着 3 的幂和 4 的幂可以在适当尺度下任意接近。
利用这一点，AI 构造了一个归纳性稀疏化论证：不断找到两个几乎对齐的尺度，让集合密度一步步衰减，直到彻底归零。
最终证明这个集合的下密度确实为零。
Erd s #846，1992 年提出，卡了人类 34 年。
这是一个关于平面点集的问题。
能不能构造一个无限大的平面点集，让它具有一种很奇怪的性质：
从中任意取出有限个点，都能找到一个规模足够大的子集，使其中没有三点共线。
但如果试图把整个无限点集拆成有限个完全没有三点共线的集合，却办不到。
简单理解，就是局部看着挺规矩，整体却怎么也拆不干净。
AlphaProof Nexus 给出的证明，采用了一种巧妙的数学构造。
它把无限完全图的边映射成平面上的点，用多项式表达式编码坐标，再结合无穷组合数学中的相关结论，完成证明。
一个平面几何问题，最后被转成图论与组合数学问题来解决。
除了这三道，还有六道分别在整除集构造、范德瓦尔登数间隙、西顿集孤立点、集合拆分密度等领域。
还在代数几何那边解决了一道希尔伯特函数对数凹性的 15 年悬案，在凸优化那边改进了一个锚定梯度下降法的理论边界。
Gemini 写证明，Lean 判卷
AlphaProof Nexus 的核心工作方式是：
Gemini 3.1 Pro 写证明 → Lean 检查 → 报错反馈给 Gemini → 修改证明 → 再检查，直到证明全部通过。
最简单的 Agent A，就是多个独立的子 Agent 同时尝试证明。
每个子 Agent 都通过 Gemini 生成 Lean 代码，再根据编译器反馈不断修改。
全程没有额外辅助工具，纯靠写代码 + 查错循环。
这是 DeepMind 此前开发的专门数学证明系统。
遇到难以解决的子问题时，Agent 可以调用 AlphaProof 进行针对性搜索。
Agent C 引入进化搜索。
多个 Agent 把不同的证明草稿放进共享数据库，再由基于 Gemini 3.0 Flash 的评分 Agent 比较草稿的合理性、清晰度和新颖性。
系统把比较结果汇总成 Elo 评分，再据此挑选值得继续探索的证明路线。
Agent D 则是完整版。
把 AlphaProof 和进化搜索都整合进来，也是这次批量探索开放问题时使用的主要配置。
但 DeepMind 后来做了一组对照实验发现，最简单的 Agent A，居然也能解出全部 9 道埃尔德什问题。
没有进化算法，没有 AlphaProof，就一个 LLM 循环加编译器反馈的 Agent A，只是在难题上更费钱一点。
在 #125 和 #138 等困难问题上，完整版 Agent 的成本效率比基础版本高出约 2 至 5 倍。
这次的整套 Lean 证明代码已经公开，外界可以直接查看。
如今，数学家的智慧之外，算力也开始成为解开这些悬赏难题的关键。
论文地址：https://www.science.org/doi/10.1126/science.aej2213
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