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禁止花椰菜、视网膜和咖啡壶套娃

首先提问:标题里的三个东西都有什么相似点?

可能大多数人觉得这个问题类似于在问 " 禅和摩托车维修技术 " 怎么联系到一起的,或者类似于《生活大爆炸》里霍金的经典段子。

当然我们要讨论的并不是禅或者谐音老梗(毕竟花椰菜 broccoli 这种东西也只能谐音布莱德利),要讨论的实际上是这些东西在形状特征上的相似性。至于你非要告诉我这三个东西都会让人抓狂——例如一个不爱吃花椰菜的近视眼小孩煮咖啡烫到自己——我的评价是:

毕竟我也不能说你是错的对吧(被烫到确实会让人抓狂)

言归正传,这三样东西(花椰菜,视网膜血管,咖啡壶)在形状上有什么相似点呢?当然,指望一眼就看出来那属实有点强人所难。不如就以一号选手花椰菜为例,如果脑海里没有印象就看一下下面的图片:

我每次吃麻辣烫必点的菜品

去除绿色的叶子部分,当掰下花椰菜的一小块分叉之后,你会发现这一小块和之前的大块花椰菜长得很像——几乎就是缩小版花椰菜。换句话说,花椰菜它和自己的一部分相似。

我觉得没有掰过花椰菜的人生是不完整的(大雾)

当然,生物界不可能存在这么完美的相似,但这不妨碍我们把这种情况抽象化严格化,即:对象和自己的一部分相似。这样的性质就称之为 " 自相似性 "。花椰菜里有一位专业选手,它的外形很接近这种严格化定义了,就是著名的罗马花椰菜。

据说有个俗名叫青宝塔,我觉得法海可以用这个镇白娘子(bushi)

OK,我们现在可以说,已经找到了花椰菜的一个形状上比较显著的特点了。那么视网膜和咖啡壶也有吗?对于视网膜视网膜来讲,似乎是可以类比的。尽管在整体上并不像花椰菜这样有很好的自相似性,但是对于视网膜血管的不断分叉来讲,每一次更小的分叉和之前的分叉似乎仍然有类似的地方,勉强也能称之为自相似性。

晕血的童鞋建议不要看 ~~

于是乎,通过前两个东西的类比,我们先得出了一类有着特殊性质的物体:它们和自己的一部分相似,即具有自相似性。我们自己就可以构造这样的图形。例如取一个实心的等边三角形,沿三边中点的连线分成四个小三角形,接着去掉中间的那一个小三角形,最后对其余三个小三角形重复这一套流程,你就会得到著名的 " 谢尔宾斯基三角形 "。它的每一小部分都和自己完全相似。

谢尔宾斯基三角,以及具有同样性质的科赫雪花和门杰海绵

理论上,你可以这样构造很多很多的奇异的图形。这种性质的图形,完全应该有个门类来包罗它们,事实上也正有着这样的门类。这也就是大多数人接触的分形的定义,即:分形是具有自相似性的几何对象,或者说在标度变换下的自相似性。而分形的引入,要归功于著名数学家芒德布罗(Mandelbrot)。

本华 · 芒德布罗(Benoît B. Mandelbrot,1924-2010),波兰裔数学家。

其实早在十九世纪,数学家已经构造出了一些 " 病态 " 的图形,例如 1883 年康托尔就构造了著名的 " 康托尔三分集 "。但是在传统物理学观念上,光滑或者规则的东西才是自然的产物。按照微积分的想法,只要划分得足够小,任何东西都是光滑的,因此病态的图形并不在研究范围之内。芒德布罗则指出:" 浮云不显球形,山峰不是锥体,海岸线不是圆圈,树皮并不光滑,闪电从不沿直线行进。"1982 年他创造了 "Fractal" 这个单词,分形几何学就此诞生了。分形具有 " 分形维数 ",例如科赫雪花的维数约为 1.262。1.262 大于 1 而小于 2,因此科赫雪花的长度是无限长而面积却是零。

这么一看,花椰菜和芒德布罗确实是心有灵犀一点通。(暴言)

其实,芒德布罗对于分形有着更为严格的定义。" 自相似 " 这个性质,可以但是没必要。芒德布罗本意是处理粗糙的东西。例如,你一定听说过 " 英国的海岸线无穷长 " 这个故事,而英国海岸线很难说具有自相似性。但是我们同样可以计算出英国海岸线的维数(实际上大约是 1.21)。此外,线段在某种分割方法下也具有自相似性,这并不能说明线段也是分形。

芒德布罗对分形的严格定义是:豪斯多夫维数比拓扑维数高的图形。拓扑维数总是整数,但豪斯多夫维数可以取所有正实数。至于豪斯多夫维数是什么,这就是测度论的事情了。一般情况下,由于实际物体的精度限制(毕竟放大倍数有限,英国海岸线总不能放大到原子尺度),采取容量维数来计算是个很好的办法。

具体的计算方法参考赵凯华老师的《新概念物理 · 热学》(别问,问就是作者在偷懒)

对于像英国海岸线这种非严格自相似的分形,它们的某些性质在统计平均上具有自相似,因此也被称为 " 无规分形 "。视网膜血管其实就是一种无规分形的例子。计算机上可以通过采取一定的无规生长的模型来描述自然现象。最经典的模型被称为扩散置限聚集(diffusion-limited aggregation, DLA),很多生物学现象都可以用 DLA 模型来解释。具体的的生成方法如下:在二维方形格点中央放置一个静止的粒子作为生成种子,再从很远的边界上随机释放一个粒子做无规行走。如果这个粒子走到了静止粒子相邻的位置就停下来粘合形成聚集体。当此粒子被粘合或者走出边界时,从边界上再释放一个粒子,重复以上的步骤。可以证明,这种模型具有统计意义上的自相似性。如果在这个集团内部任选一个点取不同的半径 R 作圆,可以发现,圆内包含的粒子数正比与 R 的 1.6 次方到 1.7 次方。这就说明 DLA 模型的分形维数是 1.6~1.7。

扩散置限聚集模型(上)与一些实例

图源:赵凯华 罗蔚茵《新概念物理 · 热学》第二版 P256、P257

说了这么多,我们似乎忘掉了三号选手咖啡壶。它又是什么情况?煮咖啡的关键是咖啡壶里面的渗滤结构,里面的咖啡渣可以抽象为一种二维的蜂窝状结构。可这又和分形有什么关系呢?

渗滤结构和二维蜂窝

原来,咖啡从咖啡渣里的渗透是随机的,就像蜂窝之间有着随机开关的阀门一样。这样的模型被数学家汉默斯莱称之为 " 逾渗模型 ",逾渗模型又分座逾渗(阀门在顶点处)、键逾渗(阀门在通道处)和更复杂的座 - 键逾渗。可以试想,阀门的随机开关会影响到咖啡流出的速率,而当阀门关闭的数量足够多时,咖啡就无法流出,这就发生了本质的变化。通过对阀门开打率做一些具体的分析,可以发现其具有统计上的分形性质。逾渗模型是一类重要的计算机分形模型,在处理二级相变时有着重要的应用。例如研究多孔介质中流体的流动,螺旋星系中恒星的随机形成,核物质中夸克禁闭 - 非禁闭转变,甚至可以研究社会学现象。

不冷不热的知识:布朗运动也是无规分形(想不到吧)

正因为分形的广泛存在,这门学科从创始就充满了活力。可以预见随着科技的发展,分形以及相关的科学有着广阔的前景。

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