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返朴 2021-11-30

神奇虫洞,不止科幻

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许多人都应该听说过 " 虫洞 ",无论是从科幻角度可穿越时空的遐想,亦或是从理论物理学前沿的学术新闻里感到不明觉厉,可虫洞究竟是什么?它如何成为连接时空的结构,只是物理学家的玩具吗?事实上,近年来在量子引力的研究中,虫洞潜藏着我们仍未发现的深意。

撰文 | 安宇森

虫洞(wormhole)是一种神奇的时空结构,同时物理学的研究也愈加证明,虫洞是连接量子理论和引力理论的钥匙。本文拟从洛伦兹(包含时间和空间)虫洞和欧几里得虫洞两个方面,来介绍虫洞这一基本概念,及其在理论物理学中的作用。

洛伦兹虫洞

首先,我们介绍洛伦兹虫洞。洛伦兹虫洞是时空中可能存在的虫洞结构,它是真实存在的物理客体。

关于洞最早的研究启发卡尔 · 萨根的说《接触》(Contact),这本说也被成功的影视化了,由罗伯特 · 泽吉斯指导的同名影《超时空接触》(Contact)受好评。在最初说的原稿中,作者利洞来实现时空隧道。但是其好友 Kip Throne 却表担忧,作为研究义相对论的家,他很清楚洞是很难作为时空隧道这种结构的。但是这激发了 Kip Throne 的研究兴趣,从后来开展了最初关于洞的系列研究。

虫洞和能量条件

时空穿越是科幻爱好者个永恒的兴趣,可穿越的洞似乎是实现它的个很好的路径。因此洞研究的个重要的,即研究它的可穿越性。通常的义相对论研究中,都是知道个物质分布,然后研究这个物质分布会给出的时空形状;然虫洞研究中,物理学家的的是实现特定的时空形状——因此 Morris 和 Throne 考虑反其道之,先给出关于时空结构的限制,然后再通过爱因斯坦场程进物质分布的求解。

最初的计算是在球对称坐标系下进的,他们发现如果要想满特定的洞时空结构,那么所需要的物质分布定是违反能量条件的,通俗地来讲,需要引奇异的负能物质 [ 1 ] 。这件事情可以通过测地线汇的办法很然地看出来。般在义相对论中,为了探究时空的些性质,通过测地线汇的变化可以在不解爱因斯坦程的情况下,就能够得出些结论。例如这,如果需要个洞结构连接两个不同的时空区域并可实现穿越,那么通过它的光线需要先汇聚到洞的喉部(即虫洞结构中的最窄处),再从喉部发出。广义相对论中,光线的汇聚还是发散,可以通过类光测地线汇的膨胀给出,描述它的方程通常叫作 Ray-Chaudhuri 程,方程如下:

我们可以选择,满旋转和剪切都为 0 的线汇,σ = ω =0,这样根据通过洞的线汇的特征,可知在洞的喉部定存在 d θ /d λ =0 的位置,这暗了如下的程

再根据义相对论可知

这便破坏了类光能量条件,因此洞的存在定需要在它的喉部引负能量的奇异物质。

这种奇异物质的引让洞的构造变得常困难,这种违反类光能量条件的物质般只有量理论中才会允许,且通常分微。同时如果满足洞可以通过,我们还需要考虑洞作用于体所产生的潮汐效应,在体可以忍受的潮汐的条件之下,理论预洞将会常巨,这么巨的空间都存在奇异物质将其撑,显得更为困难。不过,或许正如科幻说《三体》幻想的那样,限发达的明可以在物理定律允许的条件下,不受技术壁垒的限制做到任何事情——建造洞这种事情仍然可以畅想。

虫洞与时间机器

既然洞可以看作宇宙中连接遥远两点之间的近路,那么或许洞可以被改造为时间机器。 [ 2 ] 在时间机器的讨论中,我们忽略些细节,只把洞看成是连接时空中(t, 0 ) 和(t, L)两点之间的机器,洞的入口对应 ( t,0 ) ,出口对应 ( t,L ) 。如果我们让出口相对于入口进速运动,那么根据狭义相对论的钟慢效应(如双佯谬),出口和口之间就会形成个时间差 T;然后我们缩短空间距离 L 为 0,让出口和口回归点,那么从口到出口,时间就会发个 T 的跃变,这就完成了穿越到过去或者未来的操作。这便是通过洞构建时间机器的个最简化的版本。

时间机器或许相于洞,更能激发们的兴趣,因为总是充满着各种各样的遗憾。当暮年,也有各种各样的悔恨,时间机器或许就可以给次重新来过的机会,来弥补这些遗憾。因此数凄美动的爱情故事,都可以在此背景下铺展开来。

然时间机器的出现会引发很多因果性上的难题,因此在多数时候,时间机器只被看作是玩闹,正经的科学研究课题。或许 " 然憎恶时间机器 ",物理学家们需要做的就是找到相应的物理原理,来证明时间机器不可能被制成。

虫洞与量子纠缠

1997 年,Maldacena 带着他的 AdS/CFT 原始论,给理论物理学界炸响了颗惊雷,从此越来越多的学者开始研究引的全息性质。 [ 3 ] 后来,基于 Maldacena 2001 年的论结论 [ 4 ] ,Raamsdonk 先通过简单的论证发现,洞和量纠缠具有本质联系,即 ER=EPR 猜想。 [ 5 ] ( ER=EPR 这个名号,是 2013 年经 Susskind 和 Maldacena 的作正式提出,的是解决洞的墙问题 [ 6 ] 。 ) ER 指代爱因斯坦 - 罗森桥,它是连接两个洞之间的区域,可以看作是洞研究的前。不过它是不可穿越的,任何穿越爱因斯坦 - 罗森桥的举动,都不可避免的落洞奇点。EPR 指代的则是量纠缠。

爱因斯坦 - 罗森桥丨图来源:arXiv: 2110.14958

下我们简单介绍这观点,2001 年,Maldacena 的研究作发现,量场论中的热场重态 TFD

对应于个相应的 AdS 史西洞,它的彭罗斯图和史西洞的最解析沿拓的彭罗斯图一致。当然,如果盯着彭罗斯图的某个空间截来看,它可以理解为两个通过中间的洞结构连接的洞。

热场重态和史西洞的对应丨图来源:arXiv: 1005.3035

们发现,这个热场重态是个纠缠态,调节温度(也就是这的 β ) ,就对应于调节了左右两边的纠缠。当温度很低时,上的纠缠态会变成没有纠缠的直积态;当温度很时,它会成为最纠缠态。研究发现,随着温度从高到低的变化,虫洞结构中间的喉会逐渐变窄直断开。因此我们发现从边界理论的视来看减纠缠的这个操作,对应于减两个洞之间连接洞的。因此这暗了量纠缠和洞具有深刻的联系,甚于说它们本质上即是回事。

洞的形状随着温度的降低逐渐变窄丨图来源:arXiv: 1005.3035

ER=EPR 猜想暗了时空本源可能来量纠缠。通常描述量纠缠的度量是纠缠熵,但是 ER bridge 的增长时间却会的超越热平衡时间(热平衡之后纠缠熵会趋于定值),因此熵的概念似乎很难描述 ER bridge 的体积的变化。据此物理学家提出种可能具有和熵不同性质的物理量与洞体积产关联,即计算复杂度。它的物理含义是指定系列操作门,从个初态制备到末态所需要到的最操作门的数。

同时,有趣的是,虽然前提到的爱因斯坦 - 罗森桥不可穿越,但是我们可以构造相应的模型来实现这可穿越洞,即在边界引个叫作 double trace deformation 的操作,引如下的算符扰动

。这个操作相当于给背景时空引了条负能量的能流,它的能量在洞视界附近因为引蓝移会变得常,因此会对于背景造成很的反作,从影响视界的位置,使得洞的视界向内收缩。因此从个边界发出的,原本落奇点的光会跑到视界外边,重新到达另个边界。即实现了洞的可穿越性。

根据 ER=EPR 的思想,这个过程相当于引版本的量隐形传态, double trace deformation 则类似经典信道。在量隐形传态中,似乎量特是通过量纠缠在另个地被重新构造出来的;在引的图像下,它有了个全新的理解,那就是它是通过连接两个地的洞穿越来的 [ 7 ]

可穿越洞的物理图像丨图来源:arXiv: 1704.05333

欧几里得虫洞

以上介绍了时空中的洞作为个可能物理客体所需要具备的条件及其相应的物理。然,在近年的量引研究中,种新的洞结构激发了们更多的兴趣,即欧几里得虫洞。

介绍什么是欧几里得虫洞之前,我们先介绍理论物理研究中,经常进行的欧式化的操作。通过分析量子场论中的路径积分和统计物理中的配分函数的相似性,我们发现如果对时间进行如下 wick 转动的操作 t=i τ,(关于 wick 转动参见《温度与神秘的虚时间 | 众妙之门》)即将时间坐标虚数化,我们可以将量子场论的问题和统计物理的问题等价起来,由此得到的即欧式路径积分。在欧式路径积分中,并没有时间方向,可以看作是某个时间面上的物理。(当然我们也可以将欧式路径积分和洛伦兹路径积分结合起来。)

欧式路径积分是研究众多理论物理问题的一个极为有效的工具。后面我们将介绍,在用欧式路径积分具体的计算黑洞霍金辐射的精细熵的时候,会出现之前所没有发现的虫洞结构。这种洞结构,可以有助于我们理解众多困难问题,如洞的信息丢失问题。

拷贝虫洞与信息丢失

洞信息问题,是量学和义相对论在洞这个时空下的最深刻的盾。考虑纯态物质塌缩为洞继辐射,我们可以看到个从纯态到混合态的正演化,但是它是不被量学所允许的。洞信息问题,作为个会下蛋的母鸡,激发了物理学家们源源不断的创造。

最近基于全息纠缠熵的启发,们发现了种在引中计算霍辐射精确熵的办法,被称作岛屿公式。(参见《黑洞信息悖论之谜,霍金最后的问题被解决了吗?》)这种计算得到的精确熵,分神奇的满 Page 曲线,进满量学的正性。我们知道,全息纠缠熵的 RT 公式,开始虽然是作为个半猜想式的作,但是后来得到了引路径积分的精确证明。这得到的岛屿公式,是否可以通过引路径积分来证明?如果可以的话,那么它应该来于引路径积分中哪些部分的贡献呢?

先我们介绍如何在场论中计算纠缠熵,它可以通过种叫作拷贝技术(replica trick)的办法计算,即将研究的系统拷贝 n 份,进计算,最后再进解析延拓的办法。公式如下:

上文第一个等号是纠缠熵的定义,第二个等号则是应用洛必达法则得出的,这一步操作通常叫作拷贝技术(replica trick)。因为路径积分物理含义描述的是,从初态到末态的概率幅,所以欧式路径积分可以来定义波函数,进定义密度矩阵。在这个欧式路径积分的表述下,上纠缠熵的计算可以转化为在拷贝流形上的配分函数的计算,即上的最后步等式。

依据上面的思路,如果我们将霍辐射的密度矩阵通过欧式路径积分进个图形表的话,精确地计算它的熵(即配分函数)需要考虑所有可能的拷贝流形构型。考虑辐射和洞整体组成个纯态

,因计算的是霍辐射的熵,需要将洞部分求迹。

熵的计算只是要求辐射密度矩阵作为边界尾顺次连接形成个 replica 的结构,但其几何内部其实法进限制,因此计算 Zn 时需要考虑所有可能的内部构型,包括些连通的构型。

个简单的意图:左侧来辐射密度矩阵形成的边界条件(实线代表做了求迹之后的洞边界,虚线代表辐射),右侧代表计算所需要的引构型。第个图是连通的构型,第个图代表连通的拷贝洞构型。图来:arXiv: 1911.11977

当不考虑连通构型之时,可以得到和霍最初的计算相符的熵,此时违反正性;考虑这个连通的构型(通常叫作拷贝洞),则会得到和正性预期相符的熵的为。(考虑全连通构型就可以得到岛屿公式在晚期的结果,然真实的拷贝洞的贡献会更丰富。)这个连通构型它的含义和洞很像,都是通过个连通结构来连接不同的引区域(只不过这的不同区域是对个体系做 replica trick 得到的),但是它和洛伦兹型的洞对应的物理却不相同,它具体的物理含义仍然有待更多的理解和澄清。

拷贝洞的特点,从图中我们可以看到每个边界上的洞连接在了起。图来源:arXiv: 1911.12333

拷贝洞的计算是复杂的,其中只有最简单的模型可以考虑 Replica 洞的所有可能构型,并将其解析的求和起来得到最为精确的辐射精确熵 [ 8 ] 。然物理学家已经可以(少在 2 维下)通过拷贝洞的式,证明先前得到的岛屿公式的正确性。拷贝洞的出现给洞信息问题的研究注了新的机活,很多问题都得以被重新讨论研究,例如引系综对应问题 [ 9 ] ,量引中的整体对称性问题,以及洞辐射过后的剩余(remnant) [ 10 ] 等。

也许真正有趣的事情才刚刚开始,期待未来洞的研究会带给我们更多的惊喜。

参考文献

[ 1 ] M.S. Morris and K.S. Thorne, Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity, Am. J. Phys. 56 ( 1988 ) 395.

[ 2 ] M.S. Morris, K.S. Thorne and U. Yurtsever, Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition, Phys. Rev. Lett. 61 ( 1988 ) 1446.

[ 3 ] J.M. Maldacena, The Large N limit of superconformal field theories and supergravity, Adv. Theor. Math. Phys. 2 ( 1998 ) 231 [ hep-th/9711200 ] .

[ 4 ] J.M. Maldacena, Eternal black holes in anti-de Sitter, JHEP 04 ( 2003 ) 021 [ hep-th/0106112 ] .

[ 5 ] M.V.Raamsdonk, Building up spacetime with quantum entanglement, Gen.Rel.Grav ( 2010 ) 2323-2329

[ 6 ] J. Maldacena and L. Susskind, Cool horizons for entangled black holes, Fortsch. Phys. 61 ( 2013 ) 781 [ 1306.0533 ] .

[ 7 ] P. Gao, D.L. Jafferis and A.C. Wall, Traversable Wormholes via a Double Trace Deformation, JHEP 12 ( 2017 ) 151 [ 1608.05687 ] .

[ 8 ] A. Almheiri, T. Hartman, J. Maldacena, E. Shaghoulian and Tajdini, Replica Wormholes and the Entropy of Hawking Radiation, JHEP 05 ( 2020 ) 013 [ 1911.12333 ] .

[ 9 ] G. Penington, S.H. Shenker, D. Stanford and Z. Yang, Replica wormholes and the black hole interior, 1911.11977.

[ 10 ] P.S Hsin, L.V.Illiesiu, Z.Yang,Violation of global symmetries from replica wormholes and the fate of black hole remanants. Class.Quant.Grav.38 ( 2021 ) 19,194004.

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