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宇宙神秘数字 "42" 终于被解决了!

文汇 10-14

人类首次将 42 写成了 3 个整数的立方和!前不久,这成为数学界的一大新闻,因为这意味着最后一个 100 以内的自然数终于被解决了!

自从上个世纪 50 年代开始,数学家们就力图证明一个猜想,是否所有自然数都能够被写成三个整数立方和的形式?例如 36=13+23+33。他们很快发现,形如 9n ± 4 的自然数都不能满足这个方程,那其他的数呢?

要找到这个解并不容易。经过几代数学家的不懈努力,在 100 以内(除 9n ± 4 类型的自然数之外)只有 33 和 42 两个数还没有被找到满足方程的解。直到今年 3 月,美国布里斯托大学数学教授 Andrew Booker 用超级计算机运算了三周终于找到了满足 33 的解,之后他马上联合麻省理工学院数学系首席研究科学家 Andrew Sutherland 和投入到解决 42 的战役中。

9 月 6 日,经过全球近 50 万志愿者家中电脑后台几个月不间断的计算,42 也终于被解决了!这意味着 100 以内的自然数立方和的整数解(除 9n ± 4 类型数字之外)全部找到!

媒体争相报道这一新闻,菲尔兹奖得主高尔斯也转发了这个结果。如果这只是一个数学结论的证实,或许不会获得如此的关注度。但是,42 这个数字,对人类有太多的特殊意义,两位数学家就用了 " 生命、宇宙以及一切 " 的网页标题来公布这一结果。

经典科幻作品《银河系漫游指南》中提到,生命、宇宙和一切的终极答案(The answer to life, the universe, and everything)是 42。这为无法破解的 42 的立方和之谜更增加了一抹神秘色彩。

不过,这只是众多含义中的一个,42 究竟为什么这么神奇?它会有多少解释?让我们来一探究竟。

为什么是 42?

42 是终极答案的 " 典故 " 出自英国作家道格拉斯 · 亚当斯(Douglas Adams)的名作《银河系搭车客指南》(The Hitchhiker's Guide to the Galaxy),就是那部大名鼎鼎的《银河系漫游指南》。Don ’ t Panic(别慌),这是国内版权更忠于原著的译法。

▲在封面或封底印着 "Don ’ t Panic" 后来成了约定俗成的设计(来源:uncubemagazine)

故事的背景是,为了给超空间快速通道让路,地球被高等文明强拆了。地球人亚瑟 · 邓特在他的外星朋友福特 · 大老爷帮助下搭上了逃离的便车,由此两人开始了一场穿越银河的冒险。

在旅途中他们发现了一个惊人的秘密——地球不过是一次实验。一群超高智慧的老鼠为了找出生命、宇宙和一切的终极答案,制造了一台名为 " 深思 " 的超级电脑,它用了 750 万年的时间计算,解得终极答案是 "42"。而小说接下来告诉我们," 深思 " 只知道答案,要知道这个答案的原因还要需一台更强大的电脑才能解释——这台更强的电脑就是 " 地球 ",然而在算出答案前 5 分钟,地球消失了……如果读到这里令你汗颜,那就先用毛巾擦擦汗。

《银河系搭便车指南》最初在 1978 年由 BBC 以广播剧的形式播出,随后改编为小说,成为有 5 本书的三部曲。由于作者英年早逝,仍未完结。但它早已成为了科幻经典,无人不佩服作者的神奇脑洞,这部充满着英式幽默的作品还被改编成电影、电视剧、游戏、漫画等,成为了流行文化的一部分。2018 年,一辆载着 " 毛巾 ",屏幕上显示 " 别慌 " 的特斯拉跑车被猎鹰重型火箭送上了天,似乎就像奔着终极答案去了。

▲ 2005 年《银河系漫游指南》电影海报(来源:网络)

如果说 " 别慌 " 这样的梗是英语世界的特权,那 " 生命、宇宙和一切的终极答案 42" 理应是全世界人民,甚至全宇宙生物的共同财富。为了强行解释 42 的意义,好事者们各显其能找到不少牵强的意义,毕竟在古希腊数学家毕达哥拉斯就有 " 万物皆数 " 的思想。但仍有一个终极问题的终极问题有待回答——为什么是 42?

▲道格拉斯 · 亚当斯(图片来自网络)

或许作者本来只是想讽刺那些想寻找终极答案的人,才给出了一个荒诞的回答。亚当斯在一次采访中表示," 答案很简单,就是个玩笑。它得是个普通、简短的数字。我坐在桌前,盯着花园,然后想到了 42 就行,接着就敲下来了,就这样。"

就这样?就这样肯定不会让你满意,那就看看以下的这些意义是不是足够。

42 的平凡与特殊

相比于其他数字,42 确实没有什么特别之处。因为随便一个数字都能罗列出一堆性质。对于常人,或许只知道 42 是一个整数 / 自然数 / 偶数,若能对小学数学里介绍的概念有印象,可以记得 42 是个合数(可以除了被 1 和自身以外还能被其他数整除的数)。再稍微进一步,它是一个普洛尼克数(可以写成两个连续非负整数积,即 6 × 7),同时也是一个楔形数(三个不同质数的乘积,即 2 × 3 × 7)。这样的性质早已在 2000 多年前人们就已知道。

▲数学上的 42 其实并不特殊(来源:geocaching)

在折腾整数的加减乘除时,数学家发现了很多有趣,或繁或简的规律,数论这门学问便诞生了。数论最初研究的就是整数的性质,42 作为一个整数相对来说也并不算特别。它是第 5 个卡塔兰数,第 6 个佩服数,十进制中第 8 个自我数,第 19 个奢侈数和第 20 个哈沙德数,4 × 4 交替矩阵的个数,最大的满足公式

的整数(n,p,q,r 都是整数)等等。为了不使讲述偏离 42 太远,想详细了解这些概念的朋友可以自行查阅学习。

当然,在数学上,42 还也有一些有趣的事实。比如,在一个 3 × 3 的魔方中每个立方体填入 1 到 27,可以使每行、每列和穿过中心的线的数字之和都为 42。

在常见的足球杯赛中,四支队伍成为一个小组进行单循环比赛,按胜(3 分)平(1 分)负(0 分)积分,共有 40 种积分组合,而其中 6、4、4、3 和 7、4、4、1 各有种 2 种形式,所以总共有 42 种积分结果!这 42 种结果中就蕴含着 " 存在理论上出线的可能 " ——留给你支持的球队时间不多了,能否出线,就是此时此刻的终极答案。

33 和 42 接连被解决

最近,两位同名为 Andrew 的数学家成功证明了一个 42 的新意义。它能不能写成三个整数的立方和?用数学表述就是,是否存在整数 k,x,y,z,当 k=42 时满足 k=x3+y3+z3。

自上世纪 50 年代,数学家对这类方程进行了研究,并想到是否所有自然数都能写成三个整数立方和的形式。但很快就发现,整数的立方不是 9 的倍数,就是与 9 的倍数相距 1 的数;因此三个整数的立方相加后,最多也只与 9 的倍数相距 3,而与 9 的倍数相差 4 的数(即形如 9n ± 4 的数)都不能被写为三个整数的立方和,比如 4、5、13、14 都不可以。100 以内,被证明不满足的数共有 22 个。

在 100 以内的自然数中除了这 22 个数,只有 33 和 42 都是与 9 的倍数相距 3,却一直都没找到可以验证的解。对于数学家来说,寻找方程的解就像刮彩票,只是不断的尝试。而且 " 奖池 " 巨大,比如在从 1016 到 -1016 的数字海洋中寻找 33 的解。

今年 3 月,布里斯托大学的 Andrew Booker 设计新的算法,用超级计算机运算了三周终于找到了满足 33 的解。

当这一发现公布后,立即引起了世界数学家的关注,Andrew Booker 则立即投入到了寻找 42 的解上,结果发现找 42 的解还需要将数字范围再提高一个量级。

为了能让超算更快得出答案,他找到了麻省理工学院数学系的首席科学家 Andrew Sutherland,这位并行运算专家无法拒绝合作——他也是亚当斯的粉丝。

▲ Andrew Booker (左)是布里斯托大学数学教授,Andrew Sutherland(右)是麻省理工学院数学系首席研究科学家

两人更新了算法,并使其能运行在家用电脑上,数十万台电脑联合将比一台超级计算机更强大。最终他们通过一家慈善平台,让计算程序运行在了全球近 50 万志愿者家中电脑的后台,耗费几个月的时间,后找到了 " 终极答案 ":

42= ( -80538738812075974 ) 3 + 804357581458175153 + 126021232973356313

连 Sutherland 本人都说," 我喜欢这种方式的另一个原因是我们用了一台行星级别的超算解决了答案是 42 的那个问题。"

当然,关于整数立方和的问题还远没有解决,在 1000 以内还有 9 个数没有找到答案,分别是 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 921 和 975。

科学上的 42,引人注 " 钼 "

要在自然科学中强行找点与 42 相关的也不算难,比如,形成彩虹的最佳角度是 42 °(四舍五入之后)。白光在小水滴中经过两次折射和一次反射后进入人眼,当第二次折射光与太阳光成 40 ° 至 42 ° 时能够看到最明显的色散现象。这也能解释为什么彩虹是弧形的,正是因为所有光线正好形成了锥形,底面的圆弧就是彩虹。不信?你可以在自己画一道彩虹。

▲形成彩虹的最佳角度是 42 °(图片来自网络)

当然,关于 42 最直接的想法可能是第 42 号元素。元素周期表中原子序数是 42 的元素是钼(Mo),一种金属元素。虽然不够引人注 " 钼 ",但它确实是很重要,与我们生产生活息息相关,而它的存在说不定能多少回答一些关于生命的终极问题。

▲钼晶体碎片和高纯度钼单晶对比(来源:wiki)

钼相对来说比较稀有,在地壳中含量约为百万分之一,以化合物的形式存在。1778 年,瑞典化学家舍勒(Carl Wilhelm Scheele)断定这是一种新物质。1781 年,钼被另一位瑞典化学家耶尔姆(P. J. Hjelm)成功分离。虽然它具备强度高、耐腐蚀、耐高温等多种优点,可由于易于氧化,当时冶炼加工水平不高,在接下来的一个世纪人们都不知道怎么更好的使用它。

到了 19 世纪末,人们才生产出了含有钼的钢板。在第一次世界大战中,武器装备上大量使用了钼合金。战争结束后,钼的需求量减少反而刺激在民用工业领域的开发与研究,在飞机零件、电接触材料、发动机、各种工业用的高强度合金,炼制石油的催化剂,核医学中都不乏钼的身影,其氧化物还作为固体润滑剂和抗磨剂等使用。

回到我们 " 生命、宇宙和一切的终极答案 " 的主题,钼也不仅仅作为战略资源存在,科学家还发现了它更重要的作用——钼是生命必须的基本元素之一。钼被发现于数十种酶中,在生物固氮上起到重要作用,能直接影响植物发育。它也是人体必须的微量元素之一,帮助催化亚硫酸盐,处理毒素的同时合成人体必须的含硫氨基酸。

最有意思的是,科学家推测地球早期海洋中的钼,对产生氧起到了重要作用进而影响了生物进化。这个 42 难道不算终极答案吗?

尽管只是个玩笑,科学家仍很喜欢 42 这个梗。2017 年两位物理学家用《生命、宇宙和一切—— 42 个基本问题》为题写发表了一篇论文,列出了 42 个当前科学家面临的重大基础问题,其中包括暗物质、暗能量,量子信息,多重宇宙,额外维度,甚至还有几个哲学层面的问题,比如生命是什么?而第 42 个最终极的问题是,什么是意识?最基本的可能就是最终极的,在科学飞速发展的今天,我们对基本问题了解仍很少。

文化意义上的 42,牵强附会

从数学和科学上找 42 的意义似乎过于严肃了一些,本来 42 也是一个玩笑,引用时更多的是为了趣味,或者向这部伟大的作品致敬,所以我们也放松一下,看看到底 42 还能有什么神奇解释能与终极答案挂上钩!

事实上,已经有人干过这事了,爱好者 Peter Gill 用了 10 年时间寻找证据说明答案为什么是 42。2011 年,正是亚当斯逝世 10 周年时,他出版了 42:Douglas Adams' Amazingly Accurate Answer to Life, the Universe and Everything(《42:道格拉斯 · 亚当斯对生命、宇宙和一切终极答案的精准解答》),其牵强附会能力着实令人佩服。

随便找几个书中提及的,维多利亚女王丈夫阿尔伯特死于 42 岁,有 42 个孙子和曾孙;《哈利 · 波特与魔法石》的第 42 页,哈利发现自己是一名巫师;泰坦尼克号以 42 公里每小时的速度撞向了冰山;美国史上最年轻总统西奥多 · 罗斯福当选时 42 岁;一份巨无霸的含盐量达到了每日推荐摄入的 42%;欧洲核子中心给他们的修建的新大楼起名为 42;美国职业棒球大联盟唯一退役的号码 42,以纪念联盟首位黑人运动员杰基 · 罗宾森……

▲一部强行关联的作品(来源:bol.com)

在流行文化中,像这种致敬就更多了,比如著名的英国乐队 Level 42,酷玩乐队的作品《42》,各种电视剧、电影中都有隐藏提及,比如《流浪地球》中 Moss 计算答案需要 0.42 秒;《玩具总动员》中巴斯光年为他的宇宙飞船命名为 42 号……

▲著名的英国乐队 Level 42(来源:bol.com)

其实还有很多更广为人知,也更靠谱的答案。最出名的就是终极问题本身 "'the Answer to Life, the Universe and Everything is" 总共 42 个字符。ASCII 编码中 42 表示 "*","*" 在计算机语言中是通配符,能代表一切字符串……

如果对答案是 42 表示不满意,那你可以把终极问题 "'the Answer to Life, the Universe and Everything is" 敲到谷歌,或者问问 Siri ——他们也会告诉你答案是 42!

作者:刘辛味

编辑:沈湫莎

责任编辑:顾军

来源:北京科技报、科普中央厨房

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